Movimento browniano de uma partícula num fluido. A partícula é apenas um ponto, do tamanho de todos os presentes na imagem, a área amarela serve para que se possa observar as setas - vetores aceleração - que são recebidos pela partícula em questão quando ela se choca com as outras partículas do fluido.

Movimento Browniano ou pedesis (em grego: πήδησις /pɛ̌ːdɛːsis/ "pulando") é o movimento aleatório das partículas suspensas em um fluido (líquido ou gás), resultante da sua colisão com átomos rápidos ou moléculas no gás ou líquido. O movimento Browniano é um dos mais simples processos da estocástica (ou probabilística) de tempo contínuo, e é um limite de ambos os processos mais simples e mais complicados estocásticos (veja passeio aleatório e teorema de Donsker). Esta universalidade está intimamente relacionada com a universalidade da distribuição normal. Em ambos os casos, é muitas vezes conveniência matemática, em vez da precisão dos modelos, que motiva a sua utilização.

O termo "movimento Browniano", nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown, também pode se referir ao modelo matemático usado para descrever tais movimentos aleatórios, que muitas vezes é chamado de teoria da partícula.^[1] Este modelo tem inúmeras aplicações do mundo real. Por exemplo, flutuações do mercado de ações são frequentemente citados, embora Benoît Mandelbrot rejeitou sua aplicabilidade aos movimentos de preços de ações, em parte, porque estes são descontínuos.^[2]

Conceito

O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas num fluido (líquido ou gás) como consequência dos choques entre todas as moléculas ou átomos presentes no fluido. O termo movimento browniano pode ser usado para se referir a uma grande diversidade de movimentos com partículas, com moléculas, e com ambos presentes em estados desde micro até macroscópicos em situações de organização caóticas, semi-caóticas, ou de proporções matemáticas, principalmente em casos de modelagem, todos estes na área denominada Física de partículas.^[1]

Esse fenômeno físico que é intrínseco à matéria e aos choques que ocorrem nos fluidos, também pode ser observado com macromoléculas, tendo por exemplo o momento que a luz incide em locais relativamente secos, permitindo que se veja macropartículas "flutuando" em suspensão no ar fazendo movimentos aleatórios. Vulgarmente confunde-se com poeira, entretanto deve-se notar que o ar (o fluido em questão) que pratica o movimento browniano e não as partículas (ou macromoléculas, neste caso poeira) que estão naquele.^[1]

Há um padrão pouco explícito em alguns casos deste movimento aleatório que o classifica como um movimento fractal, pois descreve um padrão dinâmico bem definido. Quem primeiro percebeu isso foi Benoît Mandelbrot, matemático francês.

Esse movimento está diretamente ligado com muitas reações em nível celular, como a difusão, a formação de proteínas, a síntese de ATP e o transporte intracelular de moléculas.

Hoje em dia, o movimento browniano serve de modelo na descrição de flutuações que ocorrem nos mais diversos e inesperados tipos de sistemas. Por exemplo, praticamente a mesma descrição e o mesmo tratamento matemático de Einstein podem ser adaptados para descrever flutuações de preços de mercadorias, a condutividade elétrica em metais e a ocorrência de cheias nos rios.^[3]

Físicos atualmente estudam tal movimento em relação à Teoria do Caos.

Breve História

O poema didático latino De rerum natura (Sobre a natureza das coisas), escrito por Tito Lucrécio Caro cita:

Os átomos movem-se num infinito vazio.

O universo é composto de átomos e vazio, nada mais.

Devido a sermos compostos de uma sopa de átomos em constante movimento[...].

As formas de vida neste mundo e nos outros estão em constante movimento, incrementando a potência de umas formas e diminuindo a de outras.

Os sentimentos percebem as colisões macroscópicas e interacções dos corpos[...]Albert Einstein.

Demonstrando algum conhecimento das sociedades antigas sobre como choques de partículas geram os vários fenômenos que são citados. É de se observar que na época em questão não havia aceitação e nem entendimento unânime sobre a existência de átomos e outros componentes da matéria. A disputa atômica começou com Demócrito e Anaxagoras. Os filósofos se opunham às teorias atômicas, distinguidos pela questão da gota d´água, por exemplo, que deve se dividir repetidamente sem limite, com cada subdivisão preservando as propriedades da original. A escola atômica de Demócrito defendia que as subdivisões não podiam continuar indefinidamente. A doutrina da homogeneidade seguida por Anaxagoras defende que a divisão da gota pode continuar sem término, porque o tamanho do corpo não reflete a natureza da substância.

Descoberta do Movimento Browniano

Em 1827, ao olhar através de um microscópio partículas encontradas em grãos de pólen na água,o biólogo Robert Brown observou que as partículas se moviam através da água, mas não foi capaz de determinar os mecanismos que causaram este movimento. Assim, foi o primeiro a observar cientificamente o movimento que achou se tratar de uma nova forma de vida, pois ainda não se tinha completa ciência da existência de moléculas, e as partículas pareciam descrever movimentos por vontade própria.

Jan Ingenhousz também fez algumas observações do movimento irregular de poeira de carbono em álcool em 1765. Porém, a primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em 1880 em um artigo no método dos menores quadrados. Isto foi seguido independentemente por Louis Bachelier em 1900 em sua tese de PhD "A Teoria da Especulação".

Átomos e moléculas , posteriormente foram teorizados como os constituintes da matéria e, muitas décadas depois, Albert Einstein publicou um artigo em 1905 que explicava em detalhes precisos como o movimento que Brown tinha observado era o resultado do pólen sendo movido por moléculas de água individuais. Esta explicação deste fenômeno de transporte serviu como a confirmação definitiva de que átomos e moléculas realmente existem, e foi ainda verificada experimentalmente por Jean Baptiste Perrin, em 1908. Perrin foi agraciado com o Prêmio Nobel de Física em 1926 "por seu trabalho sobre a estrutura descontínua da matéria" (Einstein tinha recebido o prêmio cinco anos antes "por seus serviços à física teórica", com citação específica de uma pesquisa diferente). Sendo então que a direção da força de bombardeamento atômico está constantemente mudando, e em diferentes momentos da partícula é atingido mais de um lado do que o outro, levando à natureza aparentemente aleatória do movimento.

Exemplo animado de um movimento browniano segundo a modelagem matemática do Processo de Wiener confirmado pelo Teorema de Donsker.

Resultados físicos posteriores

Theodor Svedberg fez importantes demonstrações do movimento Browniano em colóides e Felix Ehrenhaft, em partículas de prata no ar.
Jean Perrin realizou experimentos para testar os novos modelos matemáticos e seus resultados publicados finalmente colocaram um fim na disputa de dois mil anos sobre a existência dos átomos e moléculas.E, por esses trabalhos, ele foi agraciado com o prêmio Nobel de Física de 1926.

Alguns anos depois do trabalho de Einstein, o matemático Norbert Wiener provou que a trajetória browniana tem comprimento infinito entre dois pontos quaisquer. O caminho traçado pela partícula é tão demorado que, se houvesse um tempo infinitamente longo, ela percorreria todo o plano, sem deixar de passar por nenhum ponto. Tecnicamente se diz que, contrariando as aparências, o caminho percorrido pela partícula browniana não é uma linha (com dimensão 1), mas é uma superfície (com dimensão 2)! E tem mais: Não pense que a trajetória da partícula browniana parece ser irregular porque o microscópio não tem um aumento suficiente para mostrar os detalhes da curva. Nada disso. Com um microscópio mais potente veríamos mais detalhes, realmente, mas a curva seria tão angulosa e irregular quanto antes^[4].

Outras Pesquisas

Outro francês, Louis Bachelier, em sua tese de doutoramento apresentada em 1900, cinco anos antes do artigo de Einstein, desenvolveu praticamente toda a teoria do movimento aleatório, obtendo expressões semelhantes às que seriam depois obtidas por Einstein. No entanto, Bachelier não descrevia um sistema físico, como partículas suspensas em água, mas as flutuações das ações de uma bolsa de valores. Por essa razão, seus resultados passaram inteiramente despercebidos pelo,s físicos da época. Hoje, sabe-se que o tratamento teórico dessas flutuações serve para explicar inúmeros fenômenos que ocorrem em áreas completamente distintas, como a física, a biologia, a economia e as ciências políticas. A observação aparentemente inocente de Robert Brown revelou-se muito mais importante do que parecia do que quando foi relatada pela primeira vez. ^[5]

Movimento Browniano na Física

A primeira teoria do Movimento Browniano na Física foi publicada por Einstein em sua tese de doutoramento no ano de 1905, publicada em "Annalen der Physik". Inicialmente, Einstein analisou as equações de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível, obtendo:^[6]

                                                          $\eta *=\eta (1+\phi )$

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SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

Onde,

$\eta *$ = Viscosidade efetiva na presença de soluto;

$\eta$ = Viscosidade do solvente puro;

$\phi$ = Parte do volume total que é ocupada pelo soluto.

Assim, com base em grandezas conhecidas, como a massa molar e a densidade, tem - se que:

                                                         $\phi ={\frac {4}{3}}\pi (a^{3})((\rho N_{A})/m)$

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Desse modo, as únicas incógnitas são o raio da partícula ( $a$ ) e o Número de Avogrado ( $N_{A}$ ). O cientista buscou ainda outro modo de relacionar $a$ e $N_{A}$ , obtendo um resultado matemático em que relaciona a difusão (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido, de forma:^[7]

                                                           $D={\frac {RT}{6\pi .a.n.N_{A}}}$

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Onde,

D = Coeficiente de Difusão

R = Constante universal dos gases

T = Temperatura Termodinâmica

$a$ = Raio das partículas

$\eta$ = Viscosidade do solvente puro

$N_{A}$ = Número de Avogadro

Por meio do Movimento Browniano, Einstein possibilitou a observação de flutuações de partículas que anteriormente possuíam desvio quadrático médio muito pequeno. A base de sua teoria é tida como a semelhança do comportamento de soluções e do comportamento de suspensões diluídas, onde existe uma relação do coeficiente de difusão com a viscosidade, somado à uma dedução probabilística da equação de difusão.^[7] Diante desses cálculos, foi elaborado para o Movimento Browniano o deslocamento quadrático médio na direção "x" e o tempo de observação "t", tal que:^[8]

                                                                $<x^{2}>=2Dt$

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No caso tridimensional, devido a isotropia, temos que:

                                                       $<x^{2}>=<y^{2}>=<z^{2}>={\frac {1}{3}}<r^{2}>$

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 $<r^{2}>=6Dt$

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Alguns anos após as descobertas de Einstein, em 1908, Paul Langevin, assim como outros cientistas, buscou a generalização das fórmulas já criadas. Assim, Langevin definiu que o Movimento Browniano de uma partícula que esteja fora de um campo de força conservativo pode ser escrito como uma equação diferencial, sendo:^[9]

                                                                ${\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}=-\eta v+\xi (t)$

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Onde,

$\eta$ = Viscosidade do meio;

$v$ = Velocidade da particula;

$\xi (t)$ = Força aleatória.

Vale ressaltar que $\xi (t)$ é uma força que mantêm a agitação das partículas em suspensão, sendo atribuída a força gerada pelas moléculas do fluido nas partículas suspensas.

Langevin demonstrou que a variância da velocidade é dada por:

                                                          $<v^{2}>=(\Gamma /2\eta )(1-e^{-2\eta t})$

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Onde,

$\Gamma$ = Constante a ser calculada;

$\eta$ = Viscosidade do meio;

$t$ = Tempo.

Desse modo, para tempo longos, a função exponencial tende a zero, assim:

                                                               $<v^{2}>={\frac {\Gamma }{2\eta }}$

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Levando em conta fatores como a energia cinética média das partículas, Langevin demonstra que:

                                                               $\Gamma =\left({\frac {2\eta k_{B}T}{m}}\right)$

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Onde,

$K_{B}$ = Constante de Boltzmann;

T = Temperatura do meio externo.

Dessa maneira, para tempos suficientemente longos, a teoria de Langevin é equivalente as propostas de Einstein sobre o Movimento Browniano.

Ordenação de tempo

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Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por ${\mathcal {T}}$ ^[1]. Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}

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Aqui $x_{0}$ and $y_{0}$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.^[2]

De forma explícita temos

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),

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onde $\theta$ representa a função de passo Heaviside e o $\pm$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de $+$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.^[3]

Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial ^{[nota 1]} em pontos separados comutam^[4]. Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo A₁(t₁), …, A_n(t_n) o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:

{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})

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onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico ^[5] ^{[nota 2]} n graus de permutações e

\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para os operadores bosônicos,}}\\{\text{sinal da permutação}}&{\text{para os operadores fermiônicos.}}\end{cases}}

Matriz de dispersão

A matriz de dispersão ^{[nota 3]}(ou matriz de espalhamento^[6]) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em t =−∞ para um estado em t = +∞, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia^[7]", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:

Começamos com esta fórmula simples para o exponencial

\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.

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Agora, considere a evolução discretizada do operador

S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots

onde $1+h_{j}$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite $\varepsilon \to 0$ . O operador $h_{j}$ é definido por

h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).

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Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever

S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).

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A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador ${\mathcal {T}}$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador ${\mathcal {T}}$ garante que este ordenação será preservada.

Na mecânica quântica, o spin é uma propriedade intrínseca de todas as partículas elementares^[1]. Os férmions, as partículas que constituem matéria comum, tem meio-spin inteiro. Partículas de spin-½ constituem um subconjunto importante de tais férmions. Todos os férmions elementares conhecidos têm uma rotação de ½^[2]. O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valores complexos com dois componentes chamados de espinores^[3].

Conceito simplificado

Basicamente, se pode compreender o conceito de Spin-½ imaginando uma roda com uma seta. Na posição inicial a seta aponta para nós. Pondo o sistema em funcionamento, ou seja, girando a roda, ou então dando nós mesmo uma volta ao redor de roda parada. Dando uma volta na roda e voltando ao mesmo local inicial, observa-se que a seta aponta novamente para nós. É uma suposição natural do nosso mundo.

Contudo imaginando algo um pouco diferente, algo que não parece do nosso mundo. O comportamento descrito acima onde se dá uma volta e olhando para a seta na posição inicial e na final observa-se que a seta aponta na mesma direção, esse comportamento tem o nome de Vetor. Fótons com spin 1 e grávitons com spin 2 comportam-se como um Vetor. Entretanto, os electrõns e quarks não têm esse comportamento. Observa-se que dando uma (1) volta completa na roda com a seta e voltando á posição inicial a seta aponta na direção contrária, oposta. Em vez de dar uma (1) volta desta vez dá-se 2 voltas á roda. Desta vez o objeto volta a apontar na nossa direção. Dando 3 voltas a seta no final volta a apontar na direção oposta. 4 voltas e novamente a seta volta a apontar para nós. Isto significa que só metade (½) das vezes a seta aponta na nossa direção. Ou seja Spin ½. A isto chama-se spinores.

Os Bósons vetores (spin-1) (glúons, fótons, e os bósons W e Z) mediam forças, enquanto os bósons Higgs são responsáveis pelo fato das partículas possuírem massa. Os Férmions spinores (Spin ½) quarks, léptons, neutrinos, elétrons e dois primos, o muon e o tau.

Descrição matemática

O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valor complexo com dois componentes chamados: um espinor. Estados observáveis das partículas são então encontrada pelos spin operadores, S_x, S_y e S_z, e o spin operador total, "S". Quando os espinores são usados para descrever os estados quânticos, os três spins operadores (S_x, S_y e S_z), podem ser descritos por matrizes 2x2 chamada matrizes de Pauli cujos autovalores são ±^ħ⁄₂. ^[4]

Por exemplo, a projeção do operador de spin S_z afeta uma medição da rotação na direção z.

S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

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Os dois autovalores de S_z, ±^ħ⁄₂, então correspondem aos seguintes auto espinores^[5]:

\chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle

\chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .

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Esses vetores formam uma base completa para o espaço de Hilbert descrevendo a partícula spin-½^[6]. Assim, combinações lineares destes dois estados podem representar todos os possíveis estados do spin, inclusive na direções x e y.

Os operadores escada são:

S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}

Desde de que S_±=S_x±iS_y, S_x=¹⁄₂(S₊+S_-), e S_y=¹⁄_2i(S₊-S_-). Então:

S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}

S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}

Seus auto-espinores normalizados podem ser encontrados na forma habitual. Para S_x, eles são:

\chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle

\chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle

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Para S_y, eles são:

\chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle

\chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle

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Definições e unidades
Símbolo	Significado (o primeiro termo é o mais comum)	Unidade SI de medida
$\mathbf {E} \$	Campo elétrico Também chamado de intensidade de campo elétrico	volt por metro newton por coulomb
$\mathbf {B} \$	Campo magnético Também chamado de indução magnética Densidade de campo magnético Densidade de fluxo magnético	tesla weber por metro quadrado, volt-segundo por metro quadrado
$\mathbf {D} \$	Campo de deslocamento elétrico Também chamado de indução elétrica Densidade de fluxo elétrico	coulomb por metro quadrado newton por volt-metro
$\mathbf {H} \$	Campo magnetizante Também chamado de campo magnético auxiliar Intensidade de campo magnético Campo magnético	ampère por metro
$\mathbf {\nabla \cdot }$	Operador divergência	"por metro"
$\mathbf {\nabla \times }$	Operador rotacional	"por metro"
${\frac {\partial }{\partial t}}$	Derivada parcial com respeito ao tempo	"por segundo" hertz
$\mathrm {d} \mathbf {A}$	Elemento vetoral diferencial da superfície "A", com magnitude infinitesimalmente pequena e direção normal à superfície "S"	metro quadrado
$\mathrm {d} \mathbf {l}$	Elemento vetorial diferencial do comprimento tangencial à curva	metro
$\varepsilon _{0}\$	Permissividade do vácuo, também chamada de constante elétrica, uma constante universal	farad por metro coulomb ao quadrado por newton metro quadrado
$\mu _{0}\$	Permeabilidade do vácuo, também chamada de constante magnética, uma constante universal	henry por metro newton por ampère ao quadrado
$\ \rho _{f}\$	Densidade de carga livre (cargas ligadas)	coulomb por metro cúbico
$\ \rho \$	Densidade de carga total (incluindo cargas livres e ligadas)	coulomb por metro cúbico
$\mathbf {J} _{f}$	Densidade de corrente livre (não incluindo correntes ligadas)	ampère por metro quadrado
${\mathbf {J}}$	Densidade de corrente total (incluindo correntes livres e ligadas)	ampère por metro quadrado
$\,Q_{f}(V)$	Rede de cargas elétricas livres dentro de um volume tridimensionalV (não incluindo cargas ligadas)	coulomb
$\,Q(V)$	Rede de cargas elétricas ligadas a um volume tridimensionalV (incluindo cargas livres e ligadas)	coulomb
$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	Integral de linha ao longo da fronteira ∂S de uma superfície S (∂S é sempre uma curva fechada - sem início nem fim).	joule por coulomb
$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	Integral de linha do campo magnético sobre a fronteira fechada ∂S da superfície S	tesla-metro
$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	O fluxo elétrico (integral de superfície do campo elétrico) por meio da superfície fechada $\partial V$ (a fronteira do volume V)	joule-metro por coulomb
$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	O fluxo magnético (Integral de superfície do campo magnético) por meio da superfície fechada $\partial V$ (a fronteira do volume V)	tesla-metro-quadrado ou weber
$\iint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{B,S}$	Fluxo magnético através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente uma superfície fechada	weber ou volt-segundo
$\iint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{E,S}$	Fluxo elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necesariamente fechada	joule-metro por coulomb
$\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{D,S}$	Fluxo de campo de deslocamento elétrico através de qualquer superfície S, não sendo necessariamente fechada	coulomb
$\iint _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{f,s}$	Rede de corrente elétrica livre passando através da superfície S (não incluindo correntes ligadas)	ampère
$\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{S}$	Rede de corrente elétrica passando através da superfície S (incluindo correntes livres e ligadas)	ampère

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